モンティ・ホール問題
大学院ネタとは関係ありませんが、春休みに勉強していた確率論（URL）のテキストの付録に書いていたモンティ・ホール問題がとても上手く説明されていて面白かったのを思い出して、シェア。
モンティ・ホールはクイズ番組の司会者の名前です。
ベイズの定理の応用としてよく挙げられる定番の例かと思います。
以下、簡単にテキストから引用させていただきます。
この問題は、3つのカーテンがあり、そのうちのどれか1つのカーテンの後ろに懸賞が隠されているという問題です。 それを次のXつのステップ観客が司会者とやりとりをして当てるというクイズです。
懸賞は当確率（つまりそれぞれ1/3の確率）でカーテンの後ろに置かれている。また、司会者はこのときどのカーテンの後ろに懸賞があるかを知っている。
回答者は、これを当てようとして1つカーテンを選択する。今、選ばれたカーテンをAとする。
司会者は、選ばれなかったA以外の2つのカーテンのうち、懸賞のない（両方とも無ければ無作為に1つ選ぶ）カーテンBを開き、カーテンBの後ろに懸賞がないことを回答者と確認する。
さらに、司会者は回答者にこのまま初めに選択したカーテンAの選択でいいのか、それともまだ開けられていないカーテンCを選択するのか、選択肢を与える。
回答者の選択されたカーテンは開けられ、懸賞があれば回答者にその懸賞が渡される。
これをベイズの定理に基づくと計算でき、確率的に4の段階（カーテンBを見た後に選択を変更するかどうか）での望ましい選択をすることができる。
テキストでは条件付き確率などのを用いた計算を行っているが、ここでは割愛する。が、これは直感的にも分かるものであると思う.
各ステップを振り返りながら考えていこう。 この記事の読者の皆さん（あなた）が回答者だとして話を進めます。
まず、それぞれのカーテンの後ろに懸賞がある確率は1/3である。
ステップ1であなたが選択したカーテンAの後ろには1/3の確率で懸賞があります。
そこで、ステップ3で司会者は残された2つのカーテンのうち、懸賞が置かれていないカーテンBを教えてくれます。 つまり、この時点で開けられていないカーテンCの裏に懸賞がある確率は1/2ということです。 「じゃあカーテンAの裏に懸賞がある確率も1/2じゃん」と思うかもしれませんが、そうはならないのです。Aの裏に懸賞がある確率は1/3のままです。
よって、カーテンBが開けられて後に、カーテンAからCへと選択を変更することによって、懸賞を当てる確率を高めることができます。
「なんでだよ」と腑に落ちないかもしれませんが、ざっくばらんな説明はこんな感じです。
計算例はこのテキストのほか、他のサイトに載ってあるかと思うので、気になる方はそちらを読んでいただけるといいかもしれません。
確率論の数学的な厳密(?)さなどには若干欠けている本だと思いますが、広い範囲を分かりやすく説明している本だと思います。 ブラウン運動やマルチンゲールなどについても（もちろん）書かれています。統計学/確率論に興味のある方にはおすすめします。
学部レベルのミクロ・マクロ経済学と統計・計量のテキストの紹介
色々と経済学の本を紹介している記事を書いてきていますが、
ここでは、教科書と一般書の両方を言葉をeconomize（節約）して紹介します。
計量と統計のテキストをまとめた記事がこちらです。
ぜひこちらも読んで下さい。
ミクロ経済学
これまで大学の授業や独学で学んだことがある方は、以下の本のレベルがいいと思います。
この中ですと、西村ミクロと林ミクロ（最後の2冊）が少し抜けて難しいと思います。大学院入試対策では数学的に厳密な武隈ミクロ（演習ミクロ経済学）とゲーム理論など広範囲をカバーしている奥野ミクロ（演習本もあり、東京大学出版会）が定番でしたが、その2つを合わせたようなテキストが神取ミクロ（ミクロ経済学の力）とその演習本のミクロ経済学の技（はじめの2冊）です。ミクロ経済学の力はかなり説明が丁寧で、大学院入試目的でなくても、少し発展レベルの経済学を学びたい人にとってもかなりいい本です。これからはこの神取本の2冊がミクロ経済学学習の定番となっていく（というかすでになっている？）と思います。迷う方は、とりあえずミクロ経済学の力をおすすめします。
これらよりもグッと難易度が下がり、初めて学ぶレベルの本は
岩波新書からの坂井先生のミクロ経済学入門の入門は個人的に「これぞ入門書」と思える本です。左の本は、活字が嫌いな方などにはいいと思いますが、そうでなければ坂井先生の本の購入をおすすめします。
マクロ経済学
大学院入試では、3冊目の二神マクロ（3冊目）の章末問題を完璧にとけるようになれば問題ありませんが、基礎的な部分を補うのに大竹マクロ（2冊目）、院試ではでなさそうな部分も多いが、辞書てきな役割として齋藤マクロ（4冊目）がいいと思います。分厚いのが理由で個人的に 好きではないが、マンキュー本も経済学徒からそうでない方にまで幅広く読まれている人気のある本です。
繰り返しますが、院試を突破したい、または大学院基礎レベルのマクロ経済学を抑えたい方は二神マクロはマストバイです。
これより難易度が低い入門者向けの本は
このあたりでしょうか。マクロ経済学は、ミクロ的基礎が必要となるので、入門レベルから学びたい方はミクロの入門書を読むのがいいと思います。ある程度ミクロ経済学のことを知れば、上の二神マクロなども読んでいけるかと思います。
p.s. 正式に大学院生になりました。研究とお勉強頑張りますぅ。
「最強」ではないけど、誰も知らない隙間時間を効率よく使う勉強方法
私が大学3年生のとき（約2年前）に発見してから使っている勉強方法があります。
それはとてもシンプルですが、私はこれまでネットなどでは見たことがありません。
つまり、かなり少数の人しかやっていないと思います（もしくは私だけ←）。
でも、個人的にはとても効率よく隙間時間を使え、かつ復習もできます。
これぞ秘策：隙間時間勉強
それは、ボイスメモを使い、自分の音声を録音することです。 なかなか自分の録音した声を聞くのは違和感があり正直気持ち悪いですが、かなり効果があると思います。
移動時間はもちろんのこと、朝家を出る前、夜入浴中や食事中（一人暮らしの方は可）などは、1日あたり合計すると結構な時間になると思います。スマホやタブレットにまとめていても、見ながらというのはなかなか難しいものです。たまに歩きながらスマホでニュースなどを見たりもしますが（歩きスマホすみません）、周りを注意して歩きながらだとなかなか内容が頭に入ってきません。その点、音声で聞くのは非常に便利ですし、何かしながらでも問題ありません。
説明など不要だと思いますが、以下に私のやっている方法を書きます。
Step1: 覚えたい内容を簡潔にまとめる
音声はダラダラ聞いても疲れまし、何かをしながらで聞いていると、聞き逃しもありますし要点が掴めません。覚えたい内容を厳密性には欠いてもいいので、簡潔にまとめるのがポイントです。
まとめるメリットとして、聞くときのポイントのことだけではなく、まとめることにより復習にもなります。
余談ですが、これはカンニングペーパーを作るのと一部似ていて、カンペを作るのにはバレないように小さな紙に要点をまとめる必要があります。しかし、それを作っている過程で覚えたりしていて、テスト中にはカンペの出番はないというやつと同じです。もちろん、私はこの人生でカンニングなどしたことはありません。
Step2: 聴きまくる
上でも述べましたが、ながらだと聞き逃しは当たり前のようにあります。
とにかく聴きまくりましょう。
番外編：勉強法発見のキッカケの紹介
きっかけは英語の授業のプレゼンの準備をしているときです。プレゼンってどうしても話す練習が必要であると思っていたんですが、必ずそうでもないと思いました。言語問わず歌とか、英語の勉強で同じリスニングの音源を聞いているときとか、そんなときって勝手にセリフを覚えていますよね。なので、その覚えたい内容を読んでいる音源を作ればいいと思ったのです。
さらに遡ると、そもそも準備が面倒臭いので、どうすればプレゼンのために時間を割かずに、かつ準備することができるか考えたことです。
その後気づいたのですが、これはプレゼンだけでなく普段の勉強にも使えるので活用しだしました。
ぜひ皆さんも気が向けばやって見てください。結構いいですよ。
単語の重要性★★★★★ IELTSを受験するなら必ずやるべき1冊の単語帳
IELTS含め、TOEFLやTOEIC、英検などの英語テストの対策を始める前に必ず必要なもの、正確には、過去問など実践問題に取り組む前に大切なのは、単語帳を使って単語力の強化を行うことです。
テスト直前（例えば1ヶ月前）などに勉強を始めた方は、単語と平行してやるか、もしくは即実践問題に取りかからないといけないと思いますが。
本記事では、テストを受ける上でなぜ単語帳が大切なのかと、
単語の私も使用した、IELTSを受けるときに必要な単語帳の紹介をします。
単語帳で単語力をつけることの重要な3つのポイント
なぜ勉強を初めるときや、過去問に取り組む前に単語帳で単語力をつけることが重要であるのか？
その3つのポイントは、
- 勉強の効率性が上がる
- 発音も一緒に学べる
- 目指すスコア毎に覚えるべき単語がわかる
であると思っています。
『勉強の効率性が上がる』とは？
これがイチバンの重要なポイントです。少し内容は長くなります。
例えばReading問題を解いて、わからない単語をいちいち調べるのは、パッセージの長さにもよりますが、時間がかかり面倒くさい作業です。IELTS Readingなんて長いので骨が折れる作業です。この作業はとても大切ですが（IELTS Reading編で触れます）。
先に単語帳で単語だけを大量に覚えておくと、分からない単語が少なくなり、それは本文を読んだときの理解を深めることに繋がります。
また、分からなかった単語を辞書で調べるのにかかる時間を大幅に減らせます。問題を解いた後には、パッセージの中から分からない単語・文法を洗い出しますが、単語力が先についているとこれがかなり効率的です。というのも、勉強をする上で解いていくパッセージはだいぶ多いと思います。
単語力がないまま、毎回パッセージを読んで大量の知らない単語をいちいち調べてたら日が暮れます。
また、類義語と例文があること。効率性とは直結しないかもしれませんがこれも重要。
単語を勉強するのと同時に、横に書かれている類義語にも目を通すといいでしょう。 類義語の暗記にまで努める必要はないかと思いますが、どんなものが類義語か知れますし、それが知っている単語なら記憶も助長されるでしょう。 Macユーザーなら内臓の辞書で解決できますが、単語帳に例文があるで、どのように文章で使われるのかを学べます。
発音も一緒に学んでしまおう
発音記号が書かれているのが、単語帳の長所の1つでもあります。図書館など声を出せない場所で勉強している場合でも、発音記号をみて頭の中で発音しましょう。発音記号自体を知っておく必要があります。一番最悪だと思うのが、アルファベット読みで覚えるケース。リスニングに対応不可の脳みそになるので要注意。
(e.g. capability → カパビリティーのように。まだこれはましかな...)
目指すスコア毎に覚えるべき単語がわかる
特定のテスト対策用に作られた単語帳を使用すると、目指しているスコアに応じて（ある程度）知るべき単語がわかることができます。
もちろん、英語力の向上を目指すのなら、全ての単語を覚えたいところですが、とてもじゃないですが厳しいですよね。学生の方は、自分の専門の学習もありますし、社会人の方は仕事と平行して勉強しなければいけないので、全てのフリーの時間を英語学習に割くのは相当な体力と気持ちが必要だと思います。
テスト対策用に作られた単語帳
例えばIELTS 6.0を目指す人が、単語帳
IELTSを受けるならやるべき単語帳は1冊のみ
IELTSを受ける人なら、こちらの単語帳、IELTS3500
この単語帳をやりこむが吉です。
TOEFL ITPを受けていたときに、春休み毎日連続で1日10時間くらい投入してTOEFL3800をやり込んでましたが、IELTSを受けるならこの3500十分だと断言できます。理由は、TOEFLほど難易度が高すぎる（これまで見たことがない）単語がIELTSではほとんど出ないことと、それらの数少ない難しすぎる単語を知らなくても問題を解く上でそこまで支障をきたさないからです。
これはもちろん、英語能力の向上を目指す上で覚えなくていい単語はないと思っていますが、あくまでテストで（出来るだけ最短で）目標点に達することを考えた場合の方法であります。
TOEFL3800
やはりこれはIELTSの目標達成の最適解ではないでしょう。
長くなりましたが、参考までに最後に私が去年使ってたIELTS3500の現状をUPします。
私的には、この程度やるとほぼ覚えることができました。
2年前に使用して、ボロボロになった単語帳。単語帳のカバーは捨てる派です。
最後に
最後まで読んでいただきありがとうございます。
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こちらが紹介した単語帳↓
こちらがIELTS関連の紹介した記事↓
econgrad.hatenablog.com
econgrad.hatenablog.com
IELTS Listening② -初受験で7.0を取った解法とテクニック-
IELTS Lietening①では、リスニングの勉強法について書きました。
econgrad.hatenablog.com
今回は、私なりにうまくいった問題を解く上での使えるテクニックを紹介します。
試験のための心構え（なんていらない）
本題に入る前に、IELTS ≒「やばい難しいテスト」と構えてしまう人がいるかと思います。事実、（私にとっても）難しいですし、ネイティブでも満点なんて取れるもんでもないです。もっと楽観的にいきましょう。
非日本語ネイティブが、日本留学のためや就労条件クリアのために受ける日本語能力試験がありますが、日本人の私が見ても難しいです。敬語や謙譲語の厳密な見分けなどの文法など勘でしか解けないものであります。
どう難しくても、IELTE = テストです。満点を目指す必要はありません。目標スコアを取れるようにするのが最適解になります。その最適解を解くためには、最適反応戦略を見つける必要があります（ミクロ経済学・ゲーム理論風口調ですいません）。
目標スコアに到達するのに意識すべき5つのこと
満点を目指さない
交換留学のために6.0が必要など、多くのTOEIC受験者と違い、IELTSを受ける人は初めから必要としている具体的なスコアが決まっていると思います。
また、学校のテストとは違い、満点なんて必要ありませんよね。8.0とったから留学費用免除などあまり聞いたことがありません。取れる問題を確実に正解していく、それを積み重ねればいい訳です。これは特にReadingで当てはまることですがListeningでも同じだと思います。
悩んでもいつまでも迷わない
悩んだ問題は、潔く捨てることも大切です。
ではどのタイミングで捨てると決めるのか？ 私の考えでは、それは、「考えても選択肢を減らせない（消去法に移れない）とわかったとき」と、「次の問題に音声が進みそうで（もしくはすでに進んでいる）、次の問題を解くのに支障がきたす」と思ったときです。
1問の正答を得るために悩んだはずが、悩んでたせいで2問落としたとしたら、もはやそれは本末転倒としか言いようがありません。
音声がどこいってるか分からない、などの問題が多発するようであれば、それは勉強不足でしょう。単語、文法の勉強とシャドーイングをしましょう。
つまるところ、捨てる勇気をもつことです。
先読みだけで点数アップすることができる
TOEFLと違い、先読みできるのがIELTS Listeningの美味しいところです。
Section1が始まる前（つまりListeningが始まる前）が先読みの一番の頑張りどきです。Section1が一番簡単ですし、そんなに先読みしなくても解けます。しかも、先読みできる時間が他のSectionの時間より若干長いです。
これは自己流ではありますが、Section1開始前にSection2をさっと読み、Section3をできるだけ読みます。そして、Section2の前に、Section4を見ます。この理由は、Section3と4が比較的難しく、1と2が比較的簡単だから。この戦略を採用する場合、過去問を解く段階から作戦の練習する必要があります。
大切なのは、先読みで完璧を求めないとこ。日本語ほど速読もできません。次のSectionの音が流れたら、すぐそのSectionの問題に全神経を注ぐことがミソ。
穴埋め問題が得点源である
穴埋め問題が多ければそれはラッキーです。穴埋め問題が一番高い正答率になる可能性が高いです。それなのに、強く意識せず他の問題と同様に、悪く言えばガムシャラに聞いて問題を解こうと頑張っている人が多いのでは？と思います。
そのような方は、今すぐ穴埋め問題についての考え方を変えましょう。これは選択肢の問題と比べ非常に難易度が易しく、解きやすいことがほとんどだからです。ブランクの前後に集中していれば、そこだけ聞き逃さなければ内容理解の必要などありません。
例えば、
Q: A ___________ surrounded by trees.
この下線部に当てはまるのは、形容詞でしょうか？違いますね。
名詞の、しかも単数形です。
読まれている音源の中で、冠詞aがついている名詞の単数形なんてそんなに多くはありません。統計はとってませんが、感覚的に90%以上の確率で、冠詞の "a", "the" から始まる穴埋めであれば、音声でも同じ冠詞が読まれています。
同じように、前置詞onが前にあれば、何がきそうか？
Q: xxxx and _______
なら、並列と予想できますよね。
Q: are とか、_ plays
とかなら、どんな名詞が来るのか？
中学レベルの文法だけで注意して聞くべきポイントが一気に絞れます。
ここで、穴埋め問題の際に前置詞や冠詞、動詞、またはその他の空欄部に関わりそうなものに注意すればいいとわかったので、あとは、先に説明した先読みの際に、ガンガンペンで線や丸でチェックしてやればいいのです。
勘での解答でも正解率を上げる技
迷ったときにでも簡単に正解率を上げることができたら最高ですよね。記述問題ではこの戦術は当てはまりませんが、 選択問題のときにはこれを使うことができます。
選択問題では当たり前ですが、簡単な確率論で考えても、 より
、
の状況に持っていくほうが当たります。自明です。迷ったときに、4択の中から勘で解答していたら、確率は
のままです。
同じ迷った状況でも、話の内容から明らかに違うものを1つ削除することができればその時点で同じ勘でも正解率が
になります。
1問1点で40問あれば、全て勘で解けば期待値は確率1/4のときなら10点、確率1/3なら13.3点。IELTSで1点は大きいです。
使用したテキスト
このCambridgeシリーズを新しい版から順に2冊か3冊こなせば十分だと思います。
IELTSテストを運営しているCambridgeが出版している公式の過去問です。入試と同じで、過去問ほど頼りになる教材はありません。
さいごに
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。英語を話すとこは楽しいですが、スコアを取るための英語の学習は面白くないですよね（個人の意見です）。できるだけ必要なスコアをとり、テストのための勉強を切り上げて、自分の好きな学習へと時間を割きたいのが本音です。皆さんの最適解をこの記事を参考にしながら是非見つけてください。
以上Listening 解法とテクニックでした。
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Writingと使用した単語帳の記事はこちらから
IELTS Listening① -初受験で7.0を取った勉強方法-
この記事では、IELTS（Academic module）のListeningについて書きます。
①と②に分けて、テクニックと私が行った勉強方法のようなものが中心となります。
リスニングの解き方とそのテクニックについてはこちら↓
今回は勉強法を書きます。
この記事を書く理由
ここで私が経済学以外について書く理由としては、
私自身2年前、2016年夏にIELTSを初受験しましたが、再度受験を考えているためです。
ここを新たに学んだことのアウトプットする場と考えることもできますし、
少なくともテストに対する知識などをみなさんにシェア出来ればと思います。
経済学では、知識は公共財として考えます。
公共財（public goods）とは、被排除性と被競合性を持ち合わせたものです。
用語の詳細は割愛しますが、お得な知恵は共有しても損しません。
初受験のときのスコア
本題ですが、私はIELTS初受験の時のリスニングのスコアは7.0でした。
海外の大学院進学で7.0あればどこにでも出せるいいスコアですが、他のセクションがボロボロでした。
リスニングが7.0であったのに対して、リーディングが5.0で、ライティングとスピーキングが5.5でした（笑）。
少しは他のセクションの勉強もしていたのですが、勉強時間で言えばそのときはリスニングばかりに力を入れていました。
使用したテキスト
試験までに行ったリスニングの対策で使用したテキストは、
Cambridge IELTS 9~11の3冊です、Cambridge以外は使用していません。
以下がその使用したテキストです。
日本語の本も使用してませんし、個人的にはこのCambridgeの3冊で十分であると思います。
実際にやった勉強方法
私が7.0を取ったときに行った勉強方法は、
過去問を繰り返し解く、シャドーイングの２つのみです。
他にやることもあまりありませんが。過去問は各2~3周しました。
流れとしては、
各テストを解き、丸つけをした後に、シャドーします。
そのときに、Cambridge
そのときに、わからない単語、文法や表現があれば、その都度音源を止めて確認しましょう。私は、テキストのscriptに直接書き込んでいました。これは問題文ではないので、気にせず書き込んでしまいましょう。
考えられる聞き取れない原因は主に3つです。
- そもそも知らない単語だった。
- 知っていたけど、発音が分からなかった。
- 発音は知っているけど、前後の単語とくっついて発音が変わっていた。
分からない単語、文法、など、本文内で理解できていないものを0にしましょう。
そして、コピーしたscriptにそれらの単語、文法にマーカーなり下線なりを引いて、
紙のはじにでも意味や説明をメモしておきます。
そうすると、2回目のシャドーイングをやったときに、覚えていなくてもいちいち辞書に行く必要はなくなり、時間短縮に繋がります。
IELTSの勉強を始めてから、初試験まで2ヶ月ほどしかなく、過去問は2~3周しか
してませんが、問題を解くのはそのくらいで、あとは1日平均で1~2時間
シャドーイングをしていました。過去問をやらずにです。
Listeningとしてはシャドーイングだけして、他のセクションの勉強をしていました。
シャドーイングは得点を伸ばす上で、十分とは言い切れませんが、それでも効果は大きいと思います。Speakingにも大きく繋がっていると私は感じましたし。
必要なテキストの紹介
上ではCambridgeの9~11を使用したと言いましたfが、
最新のCambridge12が出たので、そちらの購入をおすすめします。
最新の12を終え、新しいテキストに行く場合に11、10と番号を下げて
いけば良いのかなと思います。
これが、IELTS唯一の公式過去問です。Cambridgeと言えばこのシリーズです。
CDや音源無しの安い方でも、親切な方が違法の中YouTubeに音源を投稿してくれているので利用できます。これもネット環境にいる必要がありますが公共財の性質を持ってますよ。フリーライダーになりましょう。
さいごに
あと、勉強や読書のための本代をケチるのはナンセンスだと思います。
週末だけ誰かから借りる人もいますが、書き込めないし、使いたいときに使えないし。
誰もが苦労する時間は短く、最短距離で目標達成したいと考えているはずなのに、これは矛盾していると思います。
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ミクロ経済学：ラグランジュの未定乗数法の解法と偏微分（効用最大化問題）
学部生が中~上級ミクロ経済学、もしくはマクロ経済学を勉強していく上で、多くの人は1度ラグランジュの未定乗数法で苦戦、つまずくのではないでしょうか？
私も例外ではなく、まず初めて偏微分記号 をみた時はビビって教科書の該当ページを飛ばしました。 ですが、臆することはありません。(偏)微分の定義にしたがって解けば簡単です。
「偏微分とは」を真剣に考えれば大変ですが、何事もはじめは「なんとなくできる」で問題ないでしょう。
何度も教科書を読み問題を解いていく過程で理解は深まるはずです。
早速解いていきましょう。
ラグランジュ関数を使って解く
超お馴染みの、コブ=ダグラス型効用関数の効用最大化問題を考えます。
効用関数を
予算制約式を
とし、この2式から需要関数を求める。
Step 1: 効用最大化問題を定義する
\begin{equation} \max_{x_1,{\space}x_2}{x^a_1 x^{1-a}_2} \end{equation} \begin{equation} {s.t.{\space}p_1 x_1 + p_2 x_2 = I} \end{equation}
note1: maxの下のと
の意味は、この2つの
を動かして最大化する（maximize）という意味。
note2: s.t. というのは、"subject to"（〜の制約のもとで）という意味。
Step 2: ラグランジュ関数(
)を作る
\begin{equation} {L(x_1,{\space}x_2,{\space}\lambda)} {{\space}=x^a_1 x^{1-a}_2} {+{\space}\lambda{\space}(I-p_1 x_1 - p_2x_2)} \end{equation}
note3: の意味は、ラグランジュ関数
は、
の3つの変数から構成されているという意味。
note4: はラムダと読み、ここではこの変数自体に意味はない。効用関数と予算制約式を繋げ1式にする役割を果たしている。
note5:第二項の(・)の中は、予算制約式のを固定して、左辺を右辺に以降した形。
Step 3: ラグランジュ関数を偏微分して 
とする
\begin{equation} \frac{\partial L(x_1,{\space}x_2,{\space}\lambda)} {\partial x_1} {=ax_1^{a-1} x_2^{1-a} - {\lambda} p_1 = 0} \tag{1} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial L(x_1,{\space}x_2,{\space}\lambda)} {\partial x_2} {=(1-a)x_1^a x_2^{-a} - {\lambda} p_2 = 0} \tag{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial L(x_1,{\space}x_2,{\space}\lambda)} {\partial \lambda} {=I - p_1 x_1 + p_2 x_2 = 0} \tag{3} \end{equation}
Step 4: 
の形に変形させ、あとは指数計算をして代入
\begin{equation} \ ①{\space}⇔{\space} ax_1^{a-1} x_2^{1-a} = \lambda p_1{\space}⇔{\space} \lambda = \frac{ax_1^{a-1} x_2^{1-a}} {p_1} \tag{1'} \end{equation} \begin{equation} \ ②{\space}⇔{\space} (1-a)ax_1^a x_2^{-a} = \lambda p_2{\space}⇔{\space} \lambda = \frac{(1-a)x_1^a x_2^{-a}} {p_2} \tag{2'} \end{equation} (1')と(2')より、 \begin{equation} \frac{ax_1^{a-1} x_2^{1-a}} {p_1} = \frac{(1-a)x_1^a x_2^{-a}} {p_2} {\space}⇔{\space} \frac{ax_1^{a-1} x_2^{1-a}} {(1-a)x_1^a x_2^{-a}} = \frac {p_1} {p_2} \end{equation} \begin{equation} ⇔{\space} \frac{a}{(1-a)}\frac{x_2}{x_1} {\space}⇔{\space} x_2 = \frac {1-a}{a} \frac{p_1 x_1}{p_2} \end{equation}
このを、最適解が満たす2つ目の式である(3)、（これは予算制約式と同じ）に代入。
\begin{equation}
p_1 x_1 + p_2 \left (\frac{1-a}{a} \frac{p_1 x_1}{p_2} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
⇔{\space} \frac{a}{a} p_1 x_1 + p_1 x_1 \left (\frac {1-a}{a} \right) = I
\end{equation}
\begin{equation}
⇔{\space} \frac{1}{a} p_1 x_1 = I {\space}⇔{\space} x_1 = \frac {aI}{p_1}
\end{equation}
となり、について解くことができた。
についても、同様に解き、\begin{equation}
x_2 = \left( \frac {1-a}{a} \right) \left( \frac{p_1}{p_2}\right) \left( \frac{aI}{p_1} \right)
= \frac{(1-a)I}{p_2}
\end{equation}
Step 5: 需要関数として示しす
\begin{equation} x_1 (p_1, {\space}p_2,{\space}I)=\frac{aI}{p_1} \end{equation} \begin{equation} x_2(p_1, {\space}p_2,{\space}I) = \frac{(1-a)I}{p_2} \end{equation}
簡単な説明
私が一番迷ったのは、予算制約式をラグランジュ関数の中に放り込むとき、左辺を右辺に移項させるか、右辺を左辺に移項させるのか、ということでした。
この疑問への解答は、動かない方から、動く方を引くということです。
つまり、初めに最大化問題を定義したときに、を動かして最大化すると定義したので、動かないIから動く
を引いてやるのです。この方が計算が楽になります。
余談
どうでもいい話ですが、この記事はMarkdownでの編集にしてから、初めてTexを使用して書きました。はてなでMarkdownを使って数式を書く場合、どの記事をみても [tex: から始めないといけないと書いていますが、ChromeでMarkDown Preview Plusというのをダウンロードしてオプションを少しいじったら、[tex: 無しでも数式を書けるようになりました＼(^ω^)／。
これからは、これまでのような内容 + 自分の統計学や計量など数学の勉強のアウトプットを通じた復習として活用できればと思います。
また、計算ミスや誤値などがありましたら、お手数ですがコメント欄にて報告していただければ幸いです。
引用などはしていませんが、一応参考書を載せておきます。
学部生で（ミクロ）経済学を勉強したい、経済学部生・学生ではなく経済学を勉強したいけどどの本・教科書がいいか分からないという方におすすめします。もちろん、院試のミクロ対策としても素晴らしい教科書です。
大学院入試（マクロ経済学編, updated）
大学院受験をされる方で、経済学研究科もしくは公共政策などの経済学系への進学を検討される方は、受験科目としてミクロ経済学やマクロ経済学などの受験が必要になるかと思います。
この記事は、「どのテキストを使えばいいか？」
という悩みのある方は、少しですが参考になるのではと思います。
タイトルの通り、この記事ではマクロ経済学のテキストについて紹介します。
これまでに使用したテキスト一覧
まず、以下が私がこれまでに使用したマクロ経済学のテキストになります。
なお、1回生のときにマクロ経済学入門を受講しましたが、テキストを後輩にあげてしまい、そもそも興味もなかったのでなにを使ってたか忘れました（笑）ので、2冊目から書いていきます。
テキストの特徴など（個人的視点による）
中谷マクロ
二神マクロ
齋藤先生らのマクロ
取り組む順番
基礎がある方、特にミクロ経済学の基礎などある、なんとなく知っている方は、中谷マクロ
上でも説明しましたが、大切なのでもう一度書きます。二神マクロ
齋藤先生らのマクロ
さいごに、ローマーの上級マクロ
どうでもいいエピソードですが、この本を借りるとき、私の大学の経済学部にいる唯一部活の顧問のようなスパルタ系との噂のある先生がなぜかたまたま隣にいて、かつ私の顔を知っていると思うので、凝視されました。どうでもいい。。
まとめ + α
ミクロ経済学とマクロ経済学の科目はどちらとも受ける方、もしくは片方だけ受ける方などいると思いますが、どちらを先に勉強するかはミクロ→マクロの順でやられるのがいいかと思います。
その理由など、詳しくはこちらの記事に書いております。
econgrad.hatenablog.com
教科書などでななく、新書など簡単なものを読むとこから始めたいというかたは、
こちらがいいかと思います。マクロ経済学のトピックもありますが、経済学全体をふんわりと説明してくれている本になります。
